Bentuk akar, pangkat, dan logaritma

1. Bentuk Pangkat

Bentuk-bentuk bilangan seperti 10^-11, 10²⁴ , 10²² dan 10⁸ merupakan bentuk-bentuk bilangan berpangkat yang telah anda pelajari saat SMP/MTs. Bentuk-bentuk bilangan berpangkat dapat kita bagi menjadi empat jenis, yaitu: bilangan berpangkat positif, berpangkat nol, berpangkat negatif dan bilangan berpangkat pecahan. Bilangan berpangkat positif, nol dan negatif akan kita pelajari pada sub bab ini sedangkan yang berpangkat pecahan akan kita pelajari pada sub bab berikutnya.

1. Pangkat Bulat Positif

Konsep pangkat bilangan berawal dari perkalian, yang bertujuan untuk meringkas penulisan perkalian dari bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Sehingga

2 × 2 × 2 = 2³

3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

dan seterusnya.

Secara umum, bilangan berpangkat dapat ditulis sebagai berikut:

aⁿ = a × a × a ×……..× a ( sebanyak n faktor)

dimana a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.

a. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif

Jika  a dan b bilangan real serta n,p dan q bilangan bulat positif maka berlaku:

1. a^p × a^q = a^p+q
2. a^p : a^q = a^p-q
3. (a^p)^q = a^pq
4. (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
5. (a/b)ⁿ = ( aⁿ/ bⁿ )

Bagaimana buktinya? Mari kita buktikan bersama-sama!

b. Pembuktian sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif

1.  a^p × a^q = a^p+q

Bukti:

a^p × a^q = (a × a × … × a) × (a × a × … × a)

= a × a × … × a   p+q faktor

= a^p+q

2.  a^p : a^q = a^p-q

Bukti:

a^p : a^q = (a × a × … × a) : (a × a × … × a)

= a × a × … × a    …… faktor

= a^p-q

3.  (a^p)^q = a^pq

Bukti:

(a^p)^q = [(a × a × … × a)]^q

= (a × a × … × a)× (a × a × … × a) ×….× (a × a × … × a)

= a × a × … × a     …… faktor

= a^pq

Berdasarkan contoh-contoh di atas, coba anda buktikan sifat-sifat yang lain.

1. 2. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Berkembang dari pengertian pangkat sebagai suatu perkalian berulang, pangkat suatu bilangan bisa bulat positif, negative, nol bahkan bilangan pecahan.

1. a. Pengertian bilangan berpangkat nol dan pangkat bulat negatif

Jika p dan q bilangan bulat positif, kita sudah memiliki rumus a^p: a^q = a^p-q.

• Jika p = q, maka a^p = a^q , maka a^p: a^q =1.

Dari sisi lain, jika p = q maka p-q = 0, sehingga  a^p-q = a⁰ =1.

• Jika pq maka (p-q ) merupakan bilangan bulat negatif. Hal ini berakibat a^p:a^q = a^p-qmerupakan bilangan  berpangkat bulat negatif.

Contoh

1. a^{3 :} a⁵ = a^-2 dengan sifat a^p : a^q = a^p-q

Jika pembagian tersebut ditulis dalam perkalian berulang maka diperoleh:

a³: a⁵ ==

Jadi, diperoleh hubungan :  a^-2 =

1. a² : a⁷ =

Pada sisi lain, a⁵ : a¹⁰ = a^-5

Jadi diperoleh hubungan :  a^-5 =

1. b. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat negatif

Pada dasarnya sifat-sifat bilangan berpangkat negatif sama dengan bilangan yang berpangkat bulat positif.

	Tahukah anda: Tahukah anda bahwa ahli matematika barat hidup tanpa bilangan minus selama berabad-abad. Bilangan ini baru dikenal di Eropa pada tahun 1500-an, meskipun bangsa Cina sudah menggunakannya jauh sebelum itu. (sumber: Sains Populer, Bumi, Penemuan, Ruang dan Waktu) Utlubul ‘ilmi walu bissiin (tuntutlah ilmu walau sampai ke negri Cina-Hadits)

Contoh:

Buktikan p^-a × p^-b = p^-(a+b)

Jawab:

p^-a × p^-b =

=

= p^-(a+b)

1. 3. Menyederhanakan Bentuk Pangkat

Sering kali kita menemukan bentuk-bentuk pangkat yang masih komplek yang memuat faktor-faktor yang masih dapat disederhanakan. Dalam menyederhanakan bentuk pangkat, kita dapat menggunakan pengertian dan sifat-sifat bilangan berpangkat.

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk berikut dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat.

1. 5⁹ x 5⁷
2. e^-5 : e⁷

3. Rekreasi matematika: Bagaimana menghitung 45×45, 65×65, 75×75 dengan sangat cepat? 65×65 = 4225 bilangan 42 ini diperoleh dari 6×7, yaitu puluhan dikalikan bilangan sesudahnya, lalu ditambahkan 25. 45×45 =2025  4×5=20 Hal ini juga berlaku untuk 105×105, 115×115, dsb. Cobalah! Dengan cara ini anda akan kelihatan sangat pintar, karena dapat menghitung lebih cepat dari kalkulator.

   (g⁷)^-4

1. (d x h)^-5y
2. (g^-6/h⁸)^5t

Jawab:

1. 5⁹ x 5⁷ = 5⁹⁺⁷ = 5¹⁶
2. e^-5 : e⁷ = e^-5-7 = e^-12
3. (g⁷)^-4 = g^7.-4 = g^…..
4. (d x h)^-5y = d^-5y × h^-5y
5. (g^-6/h⁸)^5t = ………

1. Bentuk Akar

2. Kuadrat dan akar kuadrat Pada pelajaran terdahulu kamu telah mempelajari perkalian dua bilangan atau lebih. Masih ingatkah Kamu cara menentukan hasil perkalian dua bilangan atau lebih tetapi bilangannya sama? Nah, untuk mengingat beberapa perkalian coba kamu perhatikan pembahasan materi berikut ini. Masih ingatkan kamu arti 102 ? berapakah nilai ? Bilangan 102 artinya : 10 x 10 = 100 Kalau ditulis : 72 artinya adalah 7 x 7 = 49 Jadi 102 dibaca 10 kuadrat atau 10 pangkat 2            72 dibaca 7 kuadrat atau 7 pangkat 2 Secara umum ditulis : a2 = a x a atau mengkuadratkan suatu bilangan sama artinya dengan mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut : Nilai dari : 32 = 3 x 3 = 9 Nilai dari : 1,52 = 1,5 x 1,5 = 2,25 Nilai dari : 3,752 = 3,75 x 3,75 = 14,06 Bagaimana sekarang apakah kamu sudah jelas dengan contoh di atas ? Akar Kuadrat Suatu Bilangan Pada materi di atas, kamu telah mempelajari bagaimana menentukan kuadrat suatu bilangan, misalnya : - kuadrat dari 3 adalah 9, ditulis 32 = 9 - kuadrat dari 5 adalah 25, ditulis 52 = 25 - kuadrat dari 11 adalah 121, ditulis 112 = 121 - kuadrat dari 15 adalah 225, ditulis 152 = 225 Apabila Kamu dapat menentukan kuadrat suatu bilangan, saya yakin Kamu juga dapat dengan mudah menentukan akar kuadrat suatu bilangan. Nah, untuk itu perhatikan contoh berikut:  Sekarang, cobalah tentukan √64. Untuk menentukan √64, Kamu harus mencari kuadrat suatu bilangan yang hasilnya 64. Ya, bagus, bilangan itu adalah 8, sebab 82 = 64, jadi √64 = 8 Selanjutnya, tentukanlah √81. Untuk menentukan √81, Kamu harus mencari kuadrat suatu bilangan yang hasilnya 81. Ya, bagus, bilangan itu adalah 9, sebab 92 = 81 jadi √81 = 9 Apakah yang dapat Kamu simpulkan tentang akar kuadrat itu ? Bagus, jawabanmu tepat sekali.Untuk lebih memahami pengertian kuadrat suatu bilangan, coba kamu jawab luas persegi berikut ini dengan mengganti ukuran persegi sesuai keingananmu. Pangkat tiga dan akar pangkat tiga Setelah kamu mempelajari tentang kuadrat dan akar kuadrat, sekarang kamu akan mempelajari tentang pangkat tiga dan akar pangkat tiga, pada prinsipnya tidak jauh berbeda dengan pangkat dua dan akar pangkat dua. Untuk itu coba kami cermati pembahasan di bawah ini. Bilangan berpangkat tiga dilambangkan dengan angka tiga, pangkat tiga dari suatu bilangan a, didefinisikan sebagai berikut: a3 = a x a x a b3 = b x b x b Contoh: - Pangkat tiga dari 3 adalah 27, ditulis 33 = 27 - Pangkat tiga dari 4 adalah 64, ditulis 43 = 64 - Pangkat tiga dari 5 adalah 125, ditulis 53 = 125 - Pangkat tiga dari 6 adalah 216, ditulis 63 = 216 Hasil pangkat tiga suatu bilangan disebut juga “kubik”. Perhatikan hasil pangkat tiga pada contoh di atas. Bilangan 125 dan 216 disebut bilangan kubik, karena merupakan hasil pangkat tiga dari 5 dan 6. Untuk lebih memahami pengertian pangkat tiga suatu bilangan, coba kamu jawab volum kubus berikut ini dengan mengganti ukuran sisi kubus sesuai keingananmu. Untuk lebih memahami pengertian kuadrat suatu bilangan, coba kamu jawab simulasi volum kubus berikut ini dengan mengganti ukuran persegi sesuai keingananmu. Oke, apakah kamu sudah dapat membedakan antara kuadrat bilangan dengan pangkat tiga? atau akar kuadrat dengan akar pangkat tiga? Tentu, kamu sudah dapat membedakannya. Penarikan akar pangkat tiga bilangan bulatTentu kamu masih ingat tanda atau . Tanda tersebut adalah tanda untuk penarikan akar pangkat dua. Tanda untuk penarikan akar pangkat tiga adalah dan operasi merupakan kebalikan dari pangkat tiga suatu bilangan. Penerapan dalam kehidupan sehari-hari Pernahkah kamu menghitung luas sebuah kebun yang berbentuk persegi dan volum dari bak air berbentuk kubus ? tentu hal tersebut pernah kalian lihat atau lakukan sendiri. Contoh: Hitunglah luas sebidang kebun berbentuk persegi dengan ukuran panjang sisinya 25 meter Jawab: Luas kebun = sisi x sisi                    = 25 m x 25 m                    = 625 m2 Diketahui luas sebuah kertas karton berbentuk persegi 2500 cm2. Berapa panjang sisi karton tersebut? Jawab: Sisi =        = 50 cm Sebuah bak penampungan air berbentuk kubus dengan panjang sisinya 1,5 meter. Tentukan volum air jika bak tersebut terisi penuh dengan air. Jawab: Volum bak air = sisi x sisi x sisi                      = 1,5 m x 1,5 m x 1,5 m                      = 3,375 m3